Question

【題目】如圖，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且平面與平面互相垂直．若多面體的體積為，則該多面體外接球表面積的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設正方形的邊長為a，矩形的高為b，則長為，由面面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理可分別證得平面與平面，且由對稱性以及棱錐的體積公式表示多面體的體積，進而得到，再由球體的表面積公式表示表面積，最后用基本不等式求得最值即可.

設正方形的邊長為a，矩形的高為b，則長為，

因為正方形，則，設，又因為平面與平面互相垂直，平面，平面平面，

所以平面，故，

由題意可知，，則，即，

設矩形的對角線的交點為O，鏈接，可得，而平面，且平面與平面互相垂直，平面平面，所以平面，可得（R為外接球的半徑），

所以，當且僅當時取等號，

故外接球的表面積為

故選：A