Question

設函數f（x）=（m-3）e^x，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，a，b∈R，x＞0．曲線g（x）在x=1處的切線方程為y=3x
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當k≤0時，求h（x）=

1

2

kx²+g（x）的單調區間；
（3）若f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由導數的幾何意義求得a，b的值即可得出結論；
（2）利用導數，分類討論即可求得函數的單調區間；
（3）由題意，（m-3）e^x＞2x+1+lnx對一切x＞0恒成立，分離參數m得m＞

2x+1+lnx

ex

+3，令h(x)=

2x+1+lnx

ex

+3，利用導數求得h（x）的最大值，即可得出結論．

解答： 解：（1）g′(x)=2a+

b

x

，則g'（1）=2a+b=3，又g（1）=2a+1=3，
解得a=1，b=1，所以g（x）=2x+1+lnx．
（2）h(x)=

1

2

kx2+2x+1+lnx(x＞0)則h′(x)=kx+2+

1

x

=

kx2+2x+1

x

(x＞0)
當k=0時，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）單調遞增；
當k＜0時，令t（x）=kx²+2x+1；△=4-4k＞0，x=

1± 1-k

-k

，則x1=

1- 1-k

-k

＜0，x2=

1+ 1-k

-k

＞0
所以 h（x）在(0，

1+ 1-k

-k

)單調遞增；在(

1+ 1-k

-k

，+∞)單調遞減．
綜上：當k=0時，h（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當k＜0時，h（x）的單調遞增區間為(0，

1+ 1-k

-k

)；單調遞減區間為(

1+ 1-k

-k

，+∞)．
（3）由題意，（m-3）e^x＞2x+1+lnx對一切x＞0恒成立，
分離參數m得m＞

2x+1+lnx

ex

+3，
令h(x)=

2x+1+lnx

ex

+3，則h′(x)=

1+ 1 x -2x-lnx

ex

，
令t(x)=1+

1

x

-2x-lnx，探根：令x=1，則t（1）=0，
又t′(x)=-

1

x2

-2-

1

x

＜0，說明函數t（x）過點（1，0），且在（0，+∞）上單調遞減，
其大致圖象如圖．

觀察圖象即知，當x∈（0，1）時，t（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，t（x）＜0．
又易知h'（x）與t（x）同號，所以h（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
即hmax(x)=h(1)=

3

e

+3，故所求m取值范圍為(

3

e

+3，  +∞)．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的切線方程、求函數的單調區間及求函數的最值知識，考查學生分析問題，解決問題的能力及運算求解能力，考查轉化劃歸思想及數形結合思想的運用能力，邏輯性強，屬難題．