Question

已知函數
（I）求f（x）的單調區間；
（II）若以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得：
∵函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，且a＞0．
∴當x∈（0，a）時，f^′（x）＜0，
當x∈（a，+∞）時，f^′（x）＞0．
∴函數f（x）的減區間為（0，a），增區間為（a，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，
即對x₀∈（0，3]恒成立，即對x₀∈（0，3]恒成立，
也就是對x₀∈（0，3]恒成立，
令g（x）= （x₀∈（0，3]），
當x=1時，，
∴a．
∴所求實數a的最小值為．
分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，在函數的定義域內分x∈（0，a）和（a，+∞）討論導函數的符號，從而得到原函數的單調區間；
（Ⅱ）求出函數在x=x₀處的導函數，根據題意以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率恒成立，可得導函數對x₀∈（0，3]恒成立，分離參數后求函數的最大值．
點評：本題考查了利用函數的導函數研究函數的單調性，考查了導數的幾何意義，函數在圖象上某點處的切線的斜率就是在該點處的導數值，考查了利用分離變量法求參數的取值范圍，此題是中檔題．