Question

【題目】已知圓，點，是圓上一動點，點在線段上，點在半徑上，且滿足.

（1）當在圓上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）設過點的直線與軌跡交于點（不在軸上），垂直于的直線交于點，與軸交于點，若，求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）由直線為線段的垂直平分線，則，可得點的軌跡是以點為焦點，焦距為，長軸為的橢圓；

（2）由題意直線的斜率存在，設，于是直線的方程為，設，聯立方程組，利用根與系數的關系得，設，所在直線方程為，令，得，利用，即可得出．

詳解：（1）由題意知，直線為線段的垂直平分線，所以

所以點的軌跡是以點為焦點，焦距為4，長軸為4的橢圓，

，，，

故點的軌跡的方程為 .

（2）由題意直線的斜率存在設為,于是直線的方程為，

設，聯立，得．

因為，由根與系數的關系得，

∴，，

設的橫坐標為，則，

所在直線方程為，

令，得，·

于是，

即，

整理得，

，∴．