Question

【題目】在橢圓上任取一點（不為長軸端點），連結、，并延長與橢圓分別交于點、兩點，已知的周長為8，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設坐標原點為，當不是橢圓的頂點時，直線和直線的斜率之積是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，值為.

【解析】

（1）根據橢圓的定義，結合的周長為8，求出的值，設出點的坐標，結合三角形面積公式，橢圓的范圍，面積的最大值為.可以求出的關系，進而求出的值，最后求出橢圓的方程；

（2）設出直線的方程與橢圓方程聯立，利用解方程組，求出點坐標，同理求出的坐標，最后通過斜率公式，計算出直線和直線的斜率之積是定值.

（1）因為的周長為8，所以有

設，因為面積的最大值為.所以的最大值為，由橢圓的范圍，當時，面積最大，因此有，而，因為，所以，所以橢圓標準方程為：；

（2）當不是橢圓的頂點時，因此.

直線的方程為：，與橢圓的方程聯立，得：

，

，，

同理直線的方程為：，與橢圓的方程聯立，得：

，

，

為定值.