Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數 的圖象在點 處的切線的傾斜角為 ，對于任意的,函數在區間上總不是單調函數， 求的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調增區間為，減區間為，當時，單調增區間為，減區間為，當時，不是單調函數；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由，然后對、 和 分三種情況進行討論；（2）由題知可得

一定有兩個不等的實根,不妨設在上遞減， 在上遞增；（3）由（1）知當時，在上遞增

．

試題解析：（1）由 ，①當時，顯然 時，；當時， ，所以此時的單調增區間為減區間為； ②同理當時，的單調增區間為 ， 減區間為； ③當 時， 不是單調函數．

（2）由題知，得，所以，所以.因為,所以一定有兩個不等的實根,又因為.不妨設 , 由已知時時，即在上遞減， 在上遞增， 依題意知，于是只需得.

（3）由（1）知當時， 在上遞增， 所以 .在上式中分別令得

，以上不等式相乘得，兩邊同除以得

，即證．