Question

【題目】（1）若，恒成立，求實數的最大值；

（2）在（1）的條件下，求證：函數在區間內存在唯一的極大值點，且．

Answer 1

【答案】（1）．（2）家粘結性

【解析】

（1）令，求出導函數，由確定增區間，確定減區間，從而得的最小值，得的取值范圍，即得；

（2）求出導函數，通分后，令，再求導數，令．分類討論，當時，，得遞減，從而可得在上有唯一零點，時，令．利用導數得的單調性，從而得，于是得出在上的單調性，得唯一極大值點．由可對變形，得，只要證明在上，從而可證得結論．

（1）解：令，則．

可見，；．

故函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以，當且僅當時，函數取最小值1．

由題意，實數．所以．

（2）由（1），．

令，

則．

令．

①當時，，，，所以．

可見，，所以在上單調遞減．

又（由（1），可得，所以），

，所以存在唯一的，使得．

從而，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減．

②當時，令．

則．所以在上單調遞減．

所以（由（1），可得，所以）．

又當時，，，，

所以當時，，從而．所以在單調遞增．

綜上所述，在上單調遞增，在上單詞遞減．

所以，函數在區間內存在唯一極大值點．

關于的證明如下：

由上面的討論，，且，所以，所以．

于是．

令．當時，．所以在上單調遞增．所以，當時，，即．

又因為，所以，，所以．

所以．