Question

【題目】如圖，已知圓經過橢圓的左右焦點，與橢圓在第一象限的交點為，且， ， 三點共線.

（1）求橢圓的方程；

（2）設與直線（為原點）平行的直線交橢圓于兩點，當的面積取取最大值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意把焦點坐標代入圓的方程求出 ，再由條件得為圓的直徑，且，根據勾股定理求出，根據橢圓的定義和依次求出的值，代入橢圓方程即可；

（2）由（1）求出的坐標，根據向量共線的條件求出直線的斜率，設直線的方程和的坐標，聯立直線方程和橢圓方程消去，利用韋達定理和弦長公式求出，由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，代入三角形的面積公式求出，化簡后求最值即可.

試題解析：(1)∵， ， 三點共線，∴為圓的直徑，且，

∴.由，得，∴，∵， ∴， ∴， .

∵，∴，∴橢圓的方程為. (2)由（1）知，點的坐標為，∴直線的斜率為，故設直線的方程為，將方程代入消去得： ， 設 ∴， ， ，∴， 又：

=，∵點到直線的距離， ∴ ，

當且僅當，即時等號成立，此時直線的方程為.