Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓：的左右焦點分別為，，橢圓右頂點為，點在圓：上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點在橢圓上，且位于第四象限，點在圓上，且位于第一象限，已知，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意知，的值，及，，之間的關系求出橢圓的標準方程；
（2）設，的坐標，設直線的方程，由向量的關系可得，，三點關系，直線與圓聯立求出的坐標，直線與橢圓聯立求出的坐標，再由向量的關系求出參數，進而求出直線的斜率．

（1）圓：的圓心，半徑，與軸交點坐標為，，

點在圓：上，所以，從而，，

所以，所以橢圓的標準方程為.

（2）由題，設點，，；點，，.

則，，由知點，，共線.

直線的斜率存在，可設為，則直線的方程為，

由，得，或，

所以，

由，得，解得，或，

所以，

代入得，

，又，得，

所以，又，可得直線的斜率為.