Question

（2013•徐州三模）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=6，AB=2，M，N分別是棱BB₁，CC₁上的點，且BM=4，CN=2．
（1）求異面直線AM與A₁C₁所成角的余弦值；
（2）求二面角M-AN-A₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得到；
（2）求出二面角的兩個平面的法向量的夾角即可．

解答：解：（1）以AC的中點為原點O，分別以OA，OB所在直線為x，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖）．
則O（0，0，0），A（1，0，0），C（-1，0，0），B(0，0，

3

)，
N（-1，2，0），M(0，4，

3

)，A₁（1，6，0），C₁（-1，6，0）．
∴

AM

=(-1，4，

3

)，

A1C1

=(-2，0，0)．
∴cos＜

AM

，

A1C1

＞=

AM • A1C1

| AM || A1C1 |

=

2

2 20

=

5

10

，
所以異面直線AM與A₁C₁所成角的余弦值為

5

10

．
（2）平面ANA₁的一個法向量為

m

=（0，0，1）．
設平面AMN的法向量為

n

=（x，y，z），因為

AM

=(-1，4，

3

)，

AN

=(-2，2，0)，
由

n • AM =0 n • AN =0

得

-x+4y+ 3 z=0 -2x+2y=0

令x=1，則y=1，z=-

3

．
∴

n

=(1，1，-

3

)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

- 3

5

=-

15

5

，
所以二面角M-AN-A₁的正弦值=

1-(- 15 5 )2

=

10

5

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用異面直線的方向向量的夾角求出異面直線的夾角、二面角的兩個平面的法向量的夾角得到二面角的平面角的方法是解題的關鍵．