Question

【題目】已知函數，，，其中為正實數，為自然對數的底數.

（1）求函數的單調區間；

（2）是否存在實數，使得對任意給定的，在區間上總存在兩個不同的，，使得成立？若存在，求出正實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為與，單調遞減區間為與；（2）存在，.

【解析】

（1）求出導函數，由確定增區間，由確定減區間；

（2）由（1）求出的圖象與在區間上至少有兩個交點的的取值范圍，函數的值域就是這個范圍的子集．由此可得．

解：（1），.

當，即時，或，

當，即時，或.

∴函數的單調遞增區間為與，單調遞減區間為與.

（2）由（1）可知，函數有兩個極小值，，，

存在一個極大值大致作出函數圖像（只反映單調性）可知：

對于函數，，假設存在滿足題意的實數.

當時，由，得.

由題意，解得.

所以，實數的取值范圍是.