Question

【題目】如圖1，梯形中，，，，為的中點，將沿翻折，構成一個四棱錐，如圖2.

（1）求證：異面直線與垂直；

（2）求直線與平面所成角的大小；

（3）若三棱錐的體積為，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）60°（3）

【解析】

（1）取中點，連接，通過證明平面，可得；

（2）由（1）可得為直線與平面所成角，求出即可；

（3）證明平面，可得，可得，進而可得為等邊三角形，則可得平面，求出即可.

（1）在圖1中，取中點，連接，由已知，得四邊形為矩形，且，得，

則為等邊三角形，故，

故圖2中，，又與是相交直線，

得平面，則.

（2）由（1），得平面，則直線與平面所成角為，

即直線與平面所成角為60°.

（3）在平面內做，交于，

因為平面，所以平面平面，

又平面與平面的交線為，

所以平面.

，

∴，

∴.

中，，則，

故為等邊三角形.在內作，交于，

因為平面，所以平面平面，又平面與平面的交線為，

∴平面，∵，∴點到平面的距離為.