Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝4cos ωx·sin＋a(ω>0)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.

(1)求a和ω的值；

(2)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）a＝－1. ω＝1.（2）.

【解析】

（1）先由三角的兩角和的正弦公式得到函數(shù)表達(dá)式，再由最大值為當(dāng)sin＝1時(shí)，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，求出a即可，由圖像得到f(x)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，進(jìn)而得到周期和ω＝1；（2）f(x)=sin,根據(jù)由＋2kπ≤≤＋2kπ，解出x的范圍得到單調(diào)遞減區(qū)間.

(1)f(x)＝4cosωx·sin＋a

＝4cosωx·＋a

＝2sinωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a

＝sin2ωx＋cos 2ωx＋1＋a

＝2sin＋1＋a.

當(dāng)sin＝1時(shí)，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.

又f(x)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴3＋a＝2，即a＝－1.

又f(x)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，

∴f(x)的最小正周期為T(mén)＝π，

∴2ω＝＝2，ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝2sin，

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

令k＝0，得≤x≤.

∴函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為.