Question

已知函數f（x）=

(3-a)x+2(x≤2) a2x2-9x+11(x＞2)

，（a＞0，且a≠1），若數列{a_n}滿足a_n=f（n），（n∈N⁺），且{a_n}是遞增數列，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、[

  8

  3

  ，3）
• C、（1，3）
• D、（2，3）

Answer 1

考點：數列的函數特性

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據分段函數的性質可得：函數在各段上均為增函數，根據一次函數和指數函數單調性列出不等式組，解不等式組可得實數a的取值范圍．

解答： 解：因為函數f（x）=

(3-a)x+2(x≤2) a2x2-9x+11(x＞2)

，a_n=f（n），且{a_n}是遞增數列，
所以

3-a＞0 a＞1 a2×22-9×2+11≤(3-a)×2+2

，解得

8

3

≤a＜3，
所以實數a的取值范圍是[

8

3

，3）．
故選：B．

點評：本題考查數列和分段函數的單調性，以及一次函數和指數函數單調性，注意分界點處的函數值的大小關系，必須滿足函數的單調性，解答此題的關鍵是列出等價的條件，屬于中檔題．