Question

【題目】在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢圓 C：＝1(a>b>0)的離心率為，且過點，點P在第四象限， A為左頂點， B為上頂點， PA交y軸于點C，PB交x軸于點D.

(1) 求橢圓 C 的標準方程；

(2) 求 △PCD 面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)－1

【解析】

（1）由離心率，再把點坐標代入＝1，結合可求得，得橢圓標準方程；

（2）設直線方程為，可求得的坐標，由共線求得點坐標，這樣可求得，令換元后用基本不等式求得最大值．

(1) 由題意得：得a2＝4，b2＝1，

故橢圓C的標準方程為：＋y2＝1.

(2) 由題意設lAP：y＝k(x＋2)，－ <k<0，所以C(0，2k)，

由消y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝，

由xA＝－2得xP＝，故yP＝k(xP＋2)＝，

所以P，

設D(x0，0)，因B(0，1)，P，B，D三點共，所以kBD＝kPB，故＝，

解得x0＝，得D，

所以S△PCD＝SPAD－S△CAD＝×AD×|yP－yC|

＝＝，

因為－<k<0，所以S△PCD＝＝－2＋2×，

令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋＝－2＋

＝－2＋≤－2＋＝－1，

當且僅當t＝時取等號，此時k＝，所以△PCD面積的最大值為－1.