Question

【題目】如圖所示，已知矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是半圓弧上異于，的點.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，當三棱錐的體積最大且二面角的平面角的大小為時，試確定的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）由已知結合面面垂直性質定理，可證平面，進而有，再由是半圓弧上異于，的點，且為直徑，得到，可證明

平面，即可證明結論；

（2）當三棱錐的體積最大時，用等體積法，可得為的中點，建立空間直角坐標系，求出坐標，求出向量坐標，由，求出向量坐標，分別求出平面和平面的法向量，根據空間向量的面面角公式，得出關于的方程，求解，即可得出結論.

（1）由題設知：平面平面，交線為，

∵，平面，

∴平面，故.

又是半圓弧上異于，的點，且為直徑，

∴.

又，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，

由等積法知，

當三棱錐的體積最大時，最大，

則到邊的距離最大，此時為的中點.

由題設知，，，，

，則，.

∵，∴，.

設平面的法向量為，

由，即，取，

設平面的法向量為，

由，即，取，

因二面角的平面角的大小為，

∴，整理得，

解得：或（舍去），

所以.