Question

【題目】已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點，，F2是橢圓C的焦點，的周長是6．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求此定點的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題得到關于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標準方程；（Ⅱ）當直線AB斜率存在，設AB的直線方程為，進一步求出直線的方程為，

所以直線恒過定點.當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點.

解：（Ⅰ）由于是橢圓的上頂點，由題意得，

又橢圓離心率為，即，

解得，，

又，

所以橢圓的標準方程。

（Ⅱ）當直線AB斜率存在，設AB的直線方程為，

聯立，得

，

由題意，，

設，

則，

因為，所以是的中點．

即，得，

①

又，l的斜率為，

直線的方程為 ②

把①代入②可得：

所以直線恒過定點.

當直線斜率不存在時，直線的方程為，

此時直線為軸，也過.

綜上所述直線恒過點.