Question

【題目】判斷下列函數的奇偶性：

（1）f(x)＝x＋1；

（2）f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)；

（3）f(x)＝|x－2|－|x＋2|；

（4）f(x)＝

Answer 1

【答案】（1）既不是奇函數又不是偶函數；（2）既不是奇函數又不是偶函數；（3）奇函數；（4）奇函數.

【解析】

根據函數的奇偶性的定義，結合函數的解析式，逐個判定，即可求解.

（1）函數f(x)＝x＋1的定義域為實數集R，關于原點對稱．

因為f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，

所以函數f(x)＝x＋1既不是奇函數又不是偶函數．

（2）因為函數的定義域不關于原點對稱，即存在－4∈[－4，4)，而4[－4，4)，

所以函數f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)既不是奇函數又不是偶函數．

（3）函數f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定義域為實數集R，關于原點對稱．

因為f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，

所以函數f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函數．

（4）函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．

當x>0時，－x<0，f(－x)＝－ (－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；

當x<0時，－x>0，f(－x)＝ (－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．

綜上可知，函數f(x)＝是奇函數．