Question

【題目】已知直線的方程為．

（1）當時，求直線與坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）證明：不論取何值，直線恒過第四象限．

（3）當時，求直線上的動點到定點，距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）將代入可得直線方程，分別求得與兩個坐標軸的交點坐標，即可求得直線與坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）將直線方程變形，解方程組即可確定直線所過定點坐標，即可確定其恒過第四象限.

（3）將代入可得直線方程，根據兩個點坐標可知兩個點在直線同一側，可先求得關于直線的對稱點為的坐標，即可由兩點間距離公式求得最短距離.

（1）當時，直線的方程為，

令，得；

令，得，

所以直線與坐標軸圍成的三角形的面積為．

（2）證明：將直線的方程整理得，

由，得，

所以直線恒過點，

所以不論取何值，直線恒過第四象限．

（3）當時，直線的方程為，定點，在直線的同一側，其中關于直線的對稱點為，則，

所以動點到定點，距離之和為，

所以當，，三點共線時，最小，

此時．