Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點分別為雙曲線的頂點，直線與橢圓交于A，B兩點，且點A的坐標為，點Р是橢圓上異于A，B的任意一點，點Q滿足，，且A，B，Q三點不共線．

（1）求橢圓的方程；

（2）求點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）Q的軌跡方程為，除去

【解析】

（1）求出橢圓的焦點，利用橢圓的定義，可得橢圓的方程;
（2）設，由題意，，

利用點Q滿足，結合點P是橢圓上異于點A，B的任意一點，求點Q的軌跡方程.

解：（1）雙曲線的頂點為，
∴橢圓的焦點為，
∵橢圓過，
，
，
，
∴橢圓的方程為；
（2）設
由題意，，
，

，
由，可得，
，可得，
兩式相乘，可得，
點P是橢圓上異于點A，B的任意一點，

，
，
時，；
時，則或，

或，滿足，
P與A重合時，，
代入可得或；
同理P與B重合時，或；
∴點Q的軌跡方程為，除去.