Question

【題目】已知過拋物線E：x2=2py（p＞0）焦點F且傾斜角的60°直線l與拋物線E交于點M，N，△OMN的面積為4． （Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）設P是直線y=﹣2上的一個動點，過P作拋物線E的切線，切點分別為A、B，直線AB與直線OP、y軸的交點分別為Q、R，點C、D是以R為圓心、RQ為半徑的圓上任意兩點，求∠CPD最大時點P的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意， ，所以直線l的方程為 ； 由 得： ，
法一：所以 ，
O到MN的距離 ，
∴p=2，拋物線方程為x2=4y；
法二： ， ，故拋物線方程為x2=4y．
（II）設 ，由x2=4y得 ，
則切線PA方程為 即 ，
同理，切線PB方程為 ，
把P代入可得 ，故直線AB的方程為 即tx﹣2y+4=0，
∴R（0，2）由 得 ，
∴ ，
當PC，PD與圓R相切時角∠CPD最大，
此時 ，等號當 時成立，
∴當 時，所求的角∠CPD最大．
綜上，當∠CPD最大時點P的坐標為 ．
法二：同解法一，得AB：tx﹣2y+4=0，注意到OP⊥AB，
∴ ，
∴
當且僅當t2+8即 時等號成立．
【解析】（Ⅰ）利用點斜法寫出直線l的方程為 ；結合△OMN的幾何意義和三角形的面積求法求得p的值即可；（Ⅱ）設 ，由x2=4y得 ，易得切線PA、PB的直線方程，把點P的坐標代入得到直線AB的方程tx﹣2y+4=0，由R的坐標和圓半徑的計算方法求得半徑的長度，則當PC，PD與圓R相切時角∠CPD最大，所以利用銳角三角函數的定義和不等式的基本性質進行解答即可．