Question

已知拋物線y²=4x的準線與雙曲線

x2

a2

-y2=1交于A、B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得準線方程，代入雙曲線方程求得y，根據雙曲線的對稱性可知△FAB為等腰直角三角形，進而可求得A或B的縱坐標為2，進而求得a，利用a，b和c的關系求得c，則雙曲線的離心率可得．

解答：解：依題意知拋物線的準線x=-1．代入雙曲線方程得
y=±

1-a2

a

．
不妨設A（-1，

1-a2

a

），
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴

1-a2

a

=2，解得：a=

5

5

，
∴c²=a²+b²=

1

5

+1=

6

5

，
∴e=

6

故答案為：

6

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是通過雙曲線的對稱性質判斷出△FAB為等腰直角三角形．