Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N₊）
（1）證明：數列{

2n

an

}是等差數列；           
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設b_n=（2n-1）（n+1）a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差數列的定義即可證明：數列{

2n

an

}是等差數列；           
（2）利用（1）求出

2n

an

的通項公式，即可求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）利用錯位相減法即可求數列{b_n}的前n項和S_n

解答： 解：（1）取倒數得：

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，兩邊同乘以2ⁿ⁺¹得：

2n+1

an+1

=1+

2n

an

，
所以數列{

2n

an

}是以

21

a1

=2為首項，以1為公差的等差數列．
（2）∵{

2n

an

}是以

21

a1

=2為首項，以1為公差的等差數列．，
∴

2n

an

=

2

1

+(n-1)×1，
即an=

2n

n+1

．
（3）由題意知：bn=(2n-1)•2n則前n項和為：Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
由錯位相減得：-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1，
∴Sn=(2n-3)×2n+1+6．

點評：本題主要考查數列的通項公式以及數列求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵．