Question

（2008•江蘇二模）設點F₁，F₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右兩焦點，直線l為右準線．若在橢圓上存在點M，使MF₁，MF₂，點M到直線l的距離d成等比數列，則此橢圓離心率e的取值范圍是

[

2

-1，1)

．

Answer 1

分析：欲求橢圓離心率e的取值范圍，關鍵是建立a，c之間的不等關系，設M（x，y）利用MF₁，MF₂，d成等比數列，得出

x

a

=

e-1

e(e+1)

，由于M在橢圓上，故-a≤x≤a，即有-1≤x/a≤1，從而得到不等關系-1≤

e-1

e(e+1)

≤1；解之即可得到e的取值范圍．

解答：解：設M（x，y）；l為右準線；
故MF₂=r₂=a-ex； MF₁=r₁=2a-r₂=2a-（a-ex）=a+ex；
MF₁，MF₂，d成等比數列，故有：r²₂=dr₁，
即有（a-ex）²=（a+ex）（a-ex）/e，
化簡得e（a-ex）=a+ex，故

x

a

=

e-1

e(e+1)

，
由于M在橢圓上，故-a≤x≤a，即有-1≤x/a≤1，
∴-1≤

e-1

e(e+1)

≤1；由于e-1＜0，
故只需考慮不等式的左邊，即考慮-1≤

e-1

e(e+1)

，-e（e+1）≤e-1，
∴e²+2e-1≧0，故得e≥

2

-1，
即e的取值范圍為[

2

-1，1)．
故答案為：[

2

-1，1)．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、等比數列的性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．