Question

（2008•江蘇二模）如圖，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車場，PQ=5.2km．某旅游團游覽完島嶼后，乘游船回停車場Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，sinθ=

5

13

．游船離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲為了及時趕到停車地點Q與旅游團會合，立即決定租用小船先到達湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點Q（設游客甲到達湖濱大道后能立即乘到出租車）．假設游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租汽車的速度為66km/h．
（Ⅰ）設sinα=

4

5

，問小船的速度為多少km/h時，游客甲才能和游船同時到達點Q；
（Ⅱ）設小船速度為10km/h，請你替該游客設計小船行駛的方位角α，當角α余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達Q．

Answer 1

分析：（I）作PN⊥AB，N為垂足，由sinθ=

5

13

．sinα=

4

5

，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的長，構造方程可得滿足條件的船速
（II）當小船行駛的方位角為α時，解三角形分別求出PM，MQ長，進而求出時間t的解析式，利用導數法，求出函數的最小值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ） 如圖，作PN⊥AB，N為垂足．
sinθ=

5

13

，sinα=

4

5

，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×

5

13

=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×

12

13

=4.8（km）．
在Rt△PNM中，MN=

PN

tanα

=

2

4 3

=1.5（km）．…（3分）
設游船從P到Q所用時間為t₁h，游客甲從P經M到Q所用時間為t₂h，
小船的速度為v₁km/h，則t1=

PQ

13

=

26 5

13

=

2

5

（h），t2=

PM

v1

+

MQ

66

=

2.5

v1

+

3.3

66

=

5

2v1

+

1

20

（h）．  …（5分）
由已知得：t2+

1

20

=t1，

5

2v1

+

1

20

+

1

20

=

2

5

，
∴v1=

25

3

．…（7分）
∴小船的速度為

25

3

km/h時，游客甲才能和游船同時到達Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM=

PN

sinα

=

2

sinα

（km），
MN=

PN

tanα

=

2cosα

sinα

（km）．
∴QM=QN-MN=4.8-

2cosα

sinα

（km）．               …（9分）
∴t=

PM

10

+

QM

66

=

1

5sinα

+

4

55

-

cosα

33sinα

=

1

165

×

33-5cosα

sinα

+

4

55

．…（11分）
∵t′=

1

165

×

5sin2α-(33-5cosα)cosα

sin2α

=

5-33cosα

165sin2α

，…（13分）
∴令t'=0得：cosα=

5

33

．
當cosα＜

5

33

時，t'＞0；當cosα＞

5

33

時，t'＜0．
∵cosα在α∈(0，

π

2

)上是減函數，
∴當方位角α滿足cosα=

5

33

時，t最小，
即游客甲能按計劃以最短時間到達Q．…（15分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，根據已知構造出恰當的函數是解答本題的關鍵．