Question

下列命題是真命題的序號為：             

①定義域為R的函數，對都有，則為偶函數

②定義在R上的函數，若對，都有，則函數的圖像關于中心對稱

③函數的定義域為R，若與都是奇函數，則是奇函數

③函數的圖形一定是對稱中心在圖像上的中心對稱圖形。

⑤若函數有兩不同極值點，若，且，則關于的方程的不同實根個數必有三個.

 

Answer 1

【答案】

③④⑤

【解析】

試題分析：：①若f（x-1）為偶函數，則f（-x-1）=f（x-1），所以①錯誤．

②因為為常數，為常數，所以y=f（x）的圖象關于（-2，1）中心對稱，所以②錯誤．③若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-3）=-f（x+1），所以f（-x+1）=f（-x-3），即f（x+1）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），所以函數的周期是4，所以f（x+1949）=f（x+1）為奇函數，所以③正確．④由f（x）=ax³+bx²+cx+d得f（x）-d=ax³+bx²+cx為奇函數，此時函數關于原點對稱，所以函數f（x）=ax³+bx²+cx+d關于（0，d）對稱，而（0，d）一定在函數f（x）圖象上，所以④正確．⑤導數f′（x）=3ax²+2bx+c，由題意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩根，從而關于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有兩個根，

f（x₁）=x₁，x₂＞x₁=f（x₁），如下示意圖象：如圖有三個交點，故有3個不同實根．所以⑤正確．故答案為：③④⑤

考點：1.函數奇偶性；2.函數對稱性.3.函數導數的性質