Question

下列說法：
①命題“?x∈R，使2^x≤3”的否定是“?x∈R，使2^x＞3”；
②函數f（x）=（m²-m-1）x^m是冪函數，且在x∈（0，+∞）上為增函數，則m=2；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f^′（x₀）=0”的否命題是真命題；
④函數y=tan(2x+

π

6

)在區間(-

π

3

，

π

12

)上單調遞增；
⑤“log₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”成立的充要條件．
其中說法正確的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：根據含有量詞的命題的否定，可得①是真命題；根據冪函數的定義、圖象和性質，得②是真命題；通過舉出反例說明，得到③是假命題；根據正切函數的單調性和函數圖象的變換，可得④是真命題；根據指、對數函數的單調性和充分必要條件的含義，得到⑤是假命題．

解答：解：對于①，命題“?x∈R，使2^x≤3”是一個全稱性命題，
它的否定應該是改量詞為“存在”，再否定結論，得①是真命題；
對于②，若函數f（x）=（m²-m-1）x^m是冪函數，則m²-m-1=1，解之得m=2或-1
∴冪函數為f（x）=x²或f（x）=x^-1，
結合函數f（x）在x∈（0，+∞）上是增函數，得m是正數，只有m=2符合，故②是真命題；
對于③，命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f^′（x₀）=0”的否命題是
“函數f（x）在x=x₀處沒有極值，則f^′（x₀）≠0”，
以函數y=x³為例，它在x=0處沒有極值，但f^′（x₀）=0仍然成立，故③是假命題；
對于④，令-

π

2

+kπ＜2x+

π

6

＜

π

2

+kπ，k∈Z．得-

π

3

+kπ＜x＜

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=0，得區間（-

π

3

，

π

6

），剛好包含區間(-

π

3

，

π

12

)，
因此，函數y=tan(2x+

π

6

)在區間(-

π

3

，

π

12

)上單調遞增；
對于⑤，由“log₂x＞log₃x”，可得x＞1，得不出“2^x＞3^x”成立，
反之，當“2^x＞3^x”成立，可得x＜0，顯然“log₂x＞log₃x”不成立
“log₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”的既不充分也不必要條件，故⑤是假命題．
故答案為：①②④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了含有量詞的命題否定、函數的極值與單調性、三角函數的圖象與性質和指對數函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．