Question

【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝 臺發電機的水電站，過去 年的水文資料顯示，水庫年入流量 （年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和．單位：億立方米）都在40以上，不足 的年份有 年，不低于 且不超過 的年份有 年，超過 的年份有 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．
（1）求未來 年中，設 表示流量超過 的年數，求 的分布列及期望；
（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量 限制，并有如下關系：

年入流量
發電機最多可運行臺數	1

若某臺發電機運行，則該臺年利潤為 萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意， ，

由二項分布可知， .

, ,

, ,

所以 的分布列為

	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

（2）解：記水電站的總利潤為 （單位：萬元），

①假如安裝1臺發點機，由于水庫年入流總量大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年

利潤 ， ；

②若安裝2臺發電機，

當 時，只一臺發電機運行，此時 ， ，

當 時，2臺發電機運行，此時 ， ，

.

③若安裝3臺發電機，

當 時，1臺發電機運行，此時 ， ，

當 時，2臺發電機運行，此時 ， ，

當 時，3臺發電機運行，此時 ， ，

綜上可知，欲使總利潤的均值達到最大，應安裝2臺發電機

【解析】(1)根據題意 P ( X > 120 ) = 0.1 ，由二項分布 ξ ~ B ( 3 , 0.1 )計算出對應的概率值，寫出 ξ 的分布列，計算出數學的期望值即可。(2)根據題意結合已知條件分情況討論得出年利潤E(Y)的值，比較即可得出結論。