Question

【題目】已知拋物線=的焦點為坐標原點, 是拋物線上異于的兩點．

(1)求拋物線的方程;

(2)若直線的斜率之積為,求證:直線過軸上一定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：本題主要考查拋物線方程、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的方程與斜率,考查了定點問題.(1)由拋物線的焦點坐標可得p的值,即可得拋物線方程;(2)分直線的斜率存在與不存在兩種情況,結合直線的斜率之積為進行討論.

試題解析：

(1)因為拋物線的焦點坐標為,

所以,所以,

所以拋物線的方程為.

(2)證明:①當直線的斜率不存在時,

設.

因為直線的斜率之積為,

所以=,化簡得,

所以,此時直線的方程為.

②當直線的斜率存在時,

設其方程為= ,

聯立方程組消去,

得,

根據根與系數的關系得,因為直線的斜率之積為,

所以=,即,即,

解得 (舍去)或,

所以==,即,

所以,即,

綜上所述,直線過定點．