Question

【題目】已知點P是橢圓C上任一點，點P到直線l1：x=﹣2的距離為d1 ， 到點F（﹣1，0）的距離為d2 ， 且 = ．直線l與橢圓C交于不同兩點A、B（A，B都在x軸上方），且∠OFA+∠OFB=180°．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當A為橢圓與y軸正半軸的交點時，求直線l方程；
（3）對于動直線l，是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x，y），則 ，

，

化簡得： ，

∴橢圓C的方程為：

（2）解：∵A（0，1），F（﹣1，0），

∴ ，∠OFA+∠OFB=180°，

∴kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1

代入 ，得：3x2+4x=0，

∴ ，代入y=﹣x﹣1得 ，

∴

，∴

（3）證明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B關于x軸的對稱點B1在直線AF上．

設A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2）

設直線AF方程：y=k（x+1），代入 ，

得： ，

， ， ，

令y=0，得： ，

y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

= ，

∴直線l總經過定點M（﹣2，0）．

【解析】（1）設P（x，y），得 ，由此能求出橢圓C的方程．（2）由已知條件得kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1，代入 ，得：3x2+4x=0，由此能求出直線l方程．（3）B關于x軸的對稱點B1在直線AF上．設直線AF方程：y=k（x+1），代入 ，得： ，由此能證明直線l總經過定點M（﹣2，0）．