Question

【題目】設f（x）=x ln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x ），求 g（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a≤0時，直線 y=t（﹣1＜t＜0）與f（x）的圖象有兩個交點A（x1 ， t），B（x2 ， t），且x1＜x2 ， 求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx﹣2ax+2a， 得g（x）=lnx﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），
則g′（x）= ﹣2a= ，
a≤0時，x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，函數g（x）遞增；
a＞0時，x∈（0， ）時，g′（x）＞0，函數g（x）遞增；
x∈（ ，+∞）時，g′（x）＜0，函數g（x）遞減；
∴a≤0時，函數g（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時，函數g（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：f′（1）=0，
a≤0時，f′（x）是遞增函數，且當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）在x=1處取得極小值，且f（x）min=f（1）=a﹣1≤﹣1，
∴0＜x1＜1＜x2 ，
∴f（x2）﹣f（2﹣x1）=f（x1）﹣f（2﹣x1）
=x1lnx1﹣a +（2a﹣1）x1﹣[（2﹣x1）ln（2﹣x1）﹣a +（2a﹣1）（2﹣x1）]
=x1lnx1﹣（2﹣x1）ln（2﹣x1）﹣2（x1﹣1），
令h（x1）=x1lnx1﹣（2﹣x1）ln（2﹣x1）﹣2（x1﹣1），
h′（x1）=lnx1+ln（2﹣x1）=lnx1（2﹣x1）=ln[1﹣ ]＜0，
于是h（x1）在（0，1）遞減，
故h（x1）＞h（1）=0，
由此得f（x2）﹣f（2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（2﹣x1），
∵2﹣x1＞1，x2＞1，f（x）在（1，+∞）遞增，
∴x2＞2﹣x1即x1+x2＞2．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出f（x）min=f（1）=a﹣1≤﹣1，得到0＜x1＜1＜x2 ， 根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．