Question

【題目】如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為．

（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；

（2）設，當在同一水平面內時，求與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；

（3）若該“釘”著地后的四個線段根據需要可以調節與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當時，最大體積為：；

【解析】

（1）根據線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點均有正三棱錐結論出現，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構造方程可求得，從而可求得，進而得到結果；（3）取中點，利用三線合一性質可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據三棱錐體積公式可將體積表示為關于的函數，利用導數求得函數的最大值，并確定此時的取值，從而得到結果.

（1）四面體為正四面體，理由如下：

四條線段等長，即到四面體四個頂點距離相等 為四面體外接球的球心

又底面 在底面的射影為的外心

四面體為正三棱錐，即，

又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上

可得：

可知四面體各條棱長均相等 為正四面體

（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心

設中心為，則平面，如下圖所示：

即為與平面所成角

設正四面體棱長為

則，

在中，，解得：

即與平面所成角為：

（3）取中點，連接，

，為中點 且

，

令，，則

設，，則

令，解得：，

當時，；當時，

當時，取極大值，即為最大值：

即當時，取得最大值，最大值為：

此時，即

綜上所述，當時，體積最大，最大值為：