Question

如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°．
（1）求BC的長度；
（2）在線段BC上取一點P（點P與點B，C不重合），從點P看這兩座建筑物的張角分別為∠APB=α，∠DPC=β，問點P在何處時，tan（α+β）最小？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）作AN⊥CD于N，問題轉化為求△ACD邊CD上的高．設AN=x，只要建立起關于x的方程，則問題可解．
（2）利用（1）設出BP為t，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB的正切值，利用基本不等式求解表達式的最小值，推出BP是值即可．

解答： 解：（1）如圖作AN⊥CD于N．
∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，NC=9．
設AN=x，∠DAN=θ，
∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°-θ．
在Rt△ANC和Rt△AND中，
∵tanθ=

6

x

，tan（45°-θ）=

9

x

∴

9

x

=tan（45°-θ）=

1-tanθ

1+tanθ

代入化簡整理得x²-15x-54=0，
解得x₁=18，x₂=-3（舍去）．
∴BC的長度是18m．
（2）設BP=t，則PC=18-t，tanα=

9

t

，tanβ=

15

18-t

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

9 t + 15 18-t

1- 9 t × 15 18-t

=-

6

t+27+ 1350 t+27 -72

≥-

6

2 1350 -72

，
當且僅當t+27=

1350

t+27

，即t=15

6

-27時，tan（α+β）最小．
即P在距離B15

6

-27m時，tan（α+β）最小．

點評：考查了解三角形的實際應用．解這類題的關鍵是建立數學模型，設出恰當的角．考查兩角和與差的三角函數，考查計算能力．