Question

【題目】在直線l：3x－y－1＝0上求點P和Q，使得

(1)點P到點A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；

(2)點Q到點A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小．

Answer 1

【答案】（1）P(2,5)； （2）Q．

【解析】

(1)設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，求得B′的坐標，進一步可得直線AB′的方程，聯立直線方程即可求得點P的坐標.

(2)設點C關于l的對稱點為C′，求得C′的坐標，進一步可得直線AC′的方程，聯立直線方程即可求得點Q的坐標.

(1)如圖所示，設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，

則kBB′·k1＝－1，

即3× ，

∴a＋3b－12＝0.①

線段BB′的中點坐標為，且中點在直線l上，

∴3×－1＝0，即3a－b－6＝0.②

解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．

于是直線AB′的方程為，即2x＋y－9＝0．

解得 即l與直線AB′的交點坐標為P(2,5)，且此時點P到點A，B的距離之差最大．

(2)如圖所示，設點C關于l的對稱點為C′，

求出C′的坐標為 ．

∴AC′所在直線的方程為19x＋17y－93＝0，

解得直線AC′和l交點坐標為，

故Q點坐標為，且此時點P到點A，C的距離之和最小．