Question

【題目】如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為，燈柱長為米，燈桿長為1米，且燈桿與燈柱成角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為，燈罩軸線與燈桿垂直．

⑴設燈罩軸線與路面的交點為，若米，求燈柱長；

⑵設米，若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經過點，另一條與地面的交點為（如圖2）

（圖1） （圖2）

（ⅰ）求的值；（ⅱ）求該路燈照在路面上的寬度的長．

Answer 1

【答案】（1）燈柱長為13米．

（2）（ⅰ）值為；（ⅱ） 長為米．

【解析】試題分析：（1）在四邊形OCAB內求解，先過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為．再分別在直角三角形AHC，及ABF中求解，則（2）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，即得；再由 以及正弦定理得

試題解析：解：（1）過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為．

因為，

所以， ，

所以， ，

又因為，所以，

因為，所以，

解得．

（2）（ⅰ）在中，由余弦定理得

，所以，

在中，由正弦定理得，即，

解得，所以．

（ⅱ）， ，

所以 ，

在中，由正弦定理得，即

．

答：（1）燈柱長為13米．

（2）（ⅰ）值為；（ⅱ） 長為米．