Question

【題目】定義：給定整數i，如果非空集合滿足如下3個條件：

①；②；③，若，則.

則稱集合A為“減i集”

（1）是否為“減0集”？是否為“減1集”？

（2）證明：不存在“減2集”；

（3）是否存在“減1集”？如果存在，求出所有“減1集”；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是“減0集”；不是“減1集”（2）證明見解析；（3）存在；，，，3，，，3，5，，，3，5，，，，

【解析】

（1），，，，即可得出是“減0集”，同理可得不是“減1集”．

（2）假設存在是“減2集”，則若，那么，當時，有，對，分類討論即可得出．

（3）存在“減1集” ．．假設，則中除了元素1以外，必然還含有其它元素．假設，，而，因此．假設，，而，因此．因此可以有，．假設，，而，因此．假設，，，，，因此．

因此可以有，3，．以此類推可得所有的．

（1），，，，是“減0集”

同理，，，，，不是“減1集”．

（2）假設存在是“減2集”，則若，

那么，當時，有，

則，一個為2，一個為4，所以集合中有元素6，

但是，，與是“減2集”，矛盾，故不存在“減2集”

（3）存在“減1集”．．

①假設，則中除了元素1以外，必然還含有其它元素．

假設，，而，因此．

假設，，而，因此．

因此可以有，．

假設，，而，因此．

假設，，，，，因此．

因此可以有，3，．

以此類推可得：，3，5，，，，，

以及的滿足以下條件的非空子集：，，，3，，，3，5，，