Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，且，.四邊形ABCD滿足，，.E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，F為側(cè)棱PC上的任意一點(diǎn).

(1)若F為PC的中點(diǎn)，求證:平面PAD；

(2)求證:平面平面PAB；

(3)是否存在點(diǎn)F，使得直線AF與平面PCD垂直?若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)存在，

【解析】

（1）易得，利用線面平行的判定證明；
（2）易得AD⊥平面PAB，利用面面垂直的判定，可得AD平面AFD，所以平面AFD⊥平面PAB；
（3）易得CD⊥平面PAC.只需在棱PC上存在點(diǎn)F使得AF⊥PC即可.

(1)因?yàn)?/span>E，F分別為側(cè)棱PB，PC的中點(diǎn)，

所以，因?yàn)?/span>，

所以，而平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD；

(2)因?yàn)槠矫?/span>平面PAC，平面平面，

且，平面PAC，

所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.

又因?yàn)?/span>，，所以平面PAB，

而平面AFD，所以平面平面PAB；

(3)在棱PC上顯然存在點(diǎn)F使得.

由已知，，，，.

由平面幾何知識(shí)可得.

由(2)知，平面ABCD，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面PAC.

而平面PAC，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面PCD.

在中，，，，

可求得，，.

可見直線與平面PCD能夠垂直，此時(shí)線段PF的長為.