Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點，N為PC上一點，且PC＝3PN.

(1)求證：MN∥平面PAB；

(2)求點M到平面PAN的距離.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）作NH∥BC交PB于點H，連接AH，得四邊形AMNH為平行四邊形，所以MN∥AH，所以MN∥平面PAB；（2）由等體積法得VM－PAC＝VP－AMC，即4h＝×4，所以h＝。

試題解析：

(1)在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點H，連接AH，

在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1.

又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，

∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH，

又AH平面PAB，MN平面PAB，

∴MN∥平面PAB.

(2)連接AC，MC，PM，平面PAN即為平面PAC，設(shè)點M到平面PAC的距離為h.

由題意可得CD＝2，AC＝2，

∴S△PAC＝PA·AC＝4，

∴S△AMC＝AM·CD＝，

由VM－PAC＝VP－AMC，得S△PAC·h＝S△AMC·PA，

即4h＝×4，∴h＝，

∴點M到平面PAN的距離為.