Question

【題目】各項均為正數的數列{an}中，a1=1，Sn是數列{an}的前n項和，對任意n∈N* ， 有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）
（1）求常數p的值；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）記bn= ，求數列{bn}的前n項和T．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，對任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p

∴2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1

（2）解：2Sn=2an2+an﹣1，①

2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），②

① ﹣②即得（an﹣an﹣1﹣ ）（an+an﹣1）=0，

因為an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1﹣ =0，

∴

（3）解：2Sn=2an2+an﹣1=2× ，

∴Sn= ，

∴ =n2n

Tn=1×21+2×22+…+n2n③

又2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ④

④﹣③Tn=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）根據a1=1，對任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p，令n=1，解方程即可求得結果；（2）由2Sn=2an2+an﹣1，知2Sn﹣1=2an﹣12+an﹣1﹣1，（n≥2），所以（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）=0，由此能求出數列{an}的通項公式．（3）根據 求出數列{bn}的通項公式，利用錯位相減法即可求得結果．