Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經過點P（1，

3

2

）．過它的兩個焦點F₁，F₂分別作直線l₁與l₂，l₁交橢圓于A、B兩點，l₂交橢圓于C、D兩點，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求四邊形ACBD的面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，得到橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，將點P（1，

3

2

）代入橢圓方程，能求出橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在時，四邊形的面積為S=6；若l1 與l₂的斜率都存在，設l₁的斜率為k，則l₂的斜率為-

1

k

，直線l₂的方程為y=k（x+1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得|AB|=

12(k2+1)

4k2+3

，用-

1

k

代替k，得|CD|=

12(k2+1)

3k2+4

，由此能求出四邊形ABCD面積的S∈[

288

49

，6]．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，
且經過點P（1，

3

2

），
∴

c

a

=

1

2

，即a=2c，∴a²=4c²，b²=3c²，…（2分）
∴橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
將點P（1，

3

2

）代入橢圓方程，得：

1

4c2

+

9 4

3c2

=1，
解得c²=1，…（4分）
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）當l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，
此時四邊形的面積為S=6，…（7分）
若l1 與l₂的斜率都存在，設l₁的斜率為k，則l₂的斜率為-

1

k

．
∴直線l₂的方程為y=k（x+1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，
消去y整理得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，（1）
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1 x2=

4k2-12

4k2+3

，…（8分）
∴|x₁-x₂|=

12 k2+1

4k2+3

，∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

12(k2+1)

4k2+3

，（2）…（9分）
注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，
可以用-

1

k

代替（2）中的k，得|CD|=

12(k2+1)

3k2+4

，…（10分）
∴S=

1

2

|AB|•|CD|=

72(1+k2)2

(4k2+3)•(3k2+4)

，令k²=t∈（0，+∞），
∴S=

72(1+t)2

(4t+3)(3+4)

=

6(12t2+25t+12)-6t

12t2+25t+12

=6-

6

12t+ 12 t +25

≥6-

6

49

=

288

49

，
∴S∈[

288

49

，6），
綜上可知，四邊形ABCD面積的S∈[

288

49

，6]．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查四邊形面積的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．