Question

已知函數（且），.
（1）若在定義域上有極值，求實數的取值范圍；
（2）當時，若對，總，使得，求實數的取值范圍；（其中為自然對數的底數）
（3）對，且，證明： .

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）這是導數應用的常規題，值得注意的是在定義域上有極值，等價于在定義域內有兩個不等的根，而不是在定義域內有解；（2）分析題意，將問題成功地進行等價轉化，轉化為是解決問題的關鍵，接下來就是運用導數知識求兩個函數的最值，并進行比較得出參數的取值范圍；（3）這是賦有挑戰性的一個，詳見解析，但是我們要從中吸取一些對今后解題有幫助的東西，并注意一些知識的積累，如對，總有成立，它是如何證明的，從中知道是運用導數知識證明的，它又有什么作用，可以運用不等式的性質推導出一些新的不等式，這些對今后解題是很有幫助的.
試題解析：（1）的定義域為，要在定義域內有極值，則
有兩不等正根，即有兩不等正根                                                    4分
（2），要對，總，使得
則只需，由得函數在上遞增，在上遞減，所以函數在處有最大值；           6分
，又在上遞減，故
故有                                9分
（3）當時，，恒成立，故在定義域上單調遞減，故當時，即             12分
所以對，總有，故有
  14分
考點：1.導數的應用；2.參數范圍；3.不等式證明.