Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，.且與均為正三角形，為的中點，為重心.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）方法一：連接并延長與交于，連接，推導出，從而，由為重心，得，進而，由此能證明平面．

方法二：過作交于，過作交于，連接，易知，又為的重心， 根據比例關系可得 ，

又為梯形， ，由比例關系可得，又， 得， 為平行四邊形，可得，根據線面平行判定定理即可證明結果；

方法三：過作交于，連接，由為正三角形，為的中點，且， 為的重心，

又由梯形，可得，可證 ，可得平面平面

根據面面平行的性質即可證明結果.

（2）方法一:由平面平面，與均為正三角形，為的中點，可得平面，且，由（1）知平面，可得 ，再根據題意解出，即可求出結果.

方法二:三棱錐的體積 ．由此能求出結果．

（1）方法一：連交于，連接.

由梯形， 且，知

又為的中點，且，為的重心，∴

在中，，故.

又平面，平面，∴平面

方法二：過作交于，過作交于，連接，

為的中點，且，

為的重心， ， ，

又為梯形， ，，

， ，

又由所作， 得， 為平行四邊形.

，面，面，面

方法三：過作交于，連接，

由為正三角形，為的中點，且， 為的重心，

得，

又由梯形，，且，

知，即

∴在中， ，所以平面平面

又平面，∴面

（2）方法一:由平面平面，與均為正三角形，為的中點

∴，，得平面，且

由（1）知平面，∴

又由梯形， ，且，知

又為正三角形，得，

∴

得

∴三棱錐的體積為.

方法二:由平面平面，與均為正三角形，為的中點

∴，，得平面，且

由，∴

而又為正三角形，得，得.

∴，∴三棱錐的體積為.