Question

【題目】已知拋物線:上的點到焦點的距離最小值為1.

(1)求的值;

(2)若點在曲線:上,且在曲線上存在三點,,,使得四邊形為平行四邊形.求平行四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為.

【解析】

（1）由拋物線定義,結合拋物線的幾何性質可知到準線的距離為最小值,即可求得的值;

（2）方法一:設出直線的方程,并討論斜率是否存在.聯立直線與拋物線方程,結合韋達定理表示出中點的坐標.將點代入曲線可得.根據平行四邊形性質可知,關于點對稱,即可表示出B點坐標,可得方程.利用三角形面積公式表示出平行四邊形的面積,根據等量關系即可求得面積的最小值.

方法二: 設,,表示出直線的方程,由點在曲線上,可得.由,關于點對稱,可得B點坐標,將B的坐標代入拋物線方程,可得的等量關系.根據三角形面積公式表示出平行四邊形的面積,進而由不等式關系即可求得最小值.

（1）根據拋物線的定義可知,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離

拋物線上的點到焦點的距離最小值為1

即到準線的距離為1

即,所以

（2）方法一:設直線:,

當不存在時,此時直線為豎直線,與拋物線只有一個交點,故舍去.

設,

聯立方程,得

,.

故線段中點

而點在曲線:上

故

若要滿足四邊形為平行四邊形,則,關于點對稱.則.又點在拋物線上,

故滿足方程,即①

,

代入①得:,

所以

所以平行四邊形的面積的最小值為.

方法二:設,,

直線:,點在曲線:上,

故.線段中點,若要滿足四邊形為平行四邊形,

則,關于點對稱,則.又點在拋物線上

故滿足方程,即①

.

所以平行四邊形的面積的最小值為.