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【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，、均為等邊三角形，為的中點，點在上.

（1）求證：平面平面；

（2）若點是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結論；

（2）以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，求出向量和面的一個法向量，再求兩向量夾角的余弦值，從而求得答案.

（1）因為、均為等邊三角形，為的中點，

所以，.

又，所以平面，即平面.

又平面，所以平面平面；

（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.

又平面，所以，所以，，兩兩互相垂直.

故以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系如下圖所示：

不妨設，則，.

則點，，，，，.

則，，，

設平面的法向量為，則，

取，，，則，

，，，

，

則直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案

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【題目】某學校高二年級的第二學期，因某學科的任課教師王老師調動工作，于是更換了另一名教師趙老師繼任.第二學期結束后從全學年的該門課的學生考試成績中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示如下：

學校秉持均衡發展、素質教育的辦學理念，對教師的教學成績實行績效考核，績效考核方案規定：每個學期的學生成績中與其中位數相差在范圍內（含）的為合格，此時相應的給教師賦分為1分；與中位數之差大于10的為優秀，此時相應的給教師賦分為2分；與中位數之差小于-10的為不合格，此時相應的給教師賦分為-1分.

（Ⅰ）問王老師和趙老師的教學績效考核平均成績哪個大？

（Ⅱ）是否有的把握認為“學生成績取得優秀與更換老師有關”.

附：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

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【題目】隨著科技的發展，網購已經逐漸融入了人們的生活，在家里不用出門就可以買到自己想要的東西，在網上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，所以選擇網購的人數在逐年增加.某網店統計了2014年一2018年五年來在該網店的購買人數（單位：人）各年份的數據如下表：

年份（）	1	2	3	4	5
	24	27	41	64	79

（1）依據表中給出的數據，是否可用線性回歸模型擬合與時間（單位：年）的關系，請通過計算相關系數加以說明，（若，則該線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）

附：相關系數公式

參考數據

（2）該網店為了更好的設計2019年的“雙十一”網購活動安排，統計了2018年“雙十一”期間8個不同地區的網購顧客用于網購的時間x（單位：小時）作為樣本，得到下表

地區
時間	0.9	1.6	1.4	2.5	2.6	2.4	3.1	1.5

①求該樣本數據的平均數；

②通過大量數據統計發現，該活動期間網購時間近似服從正態分布，如果預計2019年“雙十一”期間的網購人數大約為50000人，估計網購時間的人數.

（附：若隨機變量服從正態分布則，

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【題目】拋物線有光學性質，即由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所示，今有拋物線，一光源在點處，由其發出的光線沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向拋物線上的點，反射后，又射向拋物線上的點，再反射后又沿平行于拋物線的對稱軸方向射出，途中遇到直線上的點，再反射后又射回點.設，兩點的坐標分別是，.