Question

【題目】如圖，已知為橢圓： 的右焦點(diǎn)， ， ， 為橢圓的下、上、右三個(gè)頂點(diǎn)， 與的面積之比為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試探究在橢圓上是否存在不同于點(diǎn)， 的一點(diǎn)滿(mǎn)足下列條件：點(diǎn)在軸上的投影為， 的中點(diǎn)為，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)， 的中點(diǎn)為，且的面積為.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) .(2)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：

（1）由與的面積之比為可得，又，所以，從而，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)（），進(jìn)而， 。可得直線(xiàn)的方程為，進(jìn)一步可得，根據(jù)，可得，從而得到。又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，由，可得，從而。因此存在點(diǎn)P滿(mǎn)足條件。

試題解析：

（1）由已知得.

又，

∴，

∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為（），

則，且.

又，

∴直線(xiàn)的方程為.

∵，∴，

令，得.

又，則，

∴.

直線(xiàn)的方程為，即，

∴點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

∴，

解得，

又，

∴，

∴存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.