Question

（2007•嘉興一模）已知點A（4，0），B（1，0），動點P滿足

AB

•

AP

=6|

PB

|
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）點Q是軌跡C上一點，過點Q的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積運算及其模的計算公式即可得出；
（II）設Q（x_Q，y_Q），直線l：y=k（x+1），則點M（0，k）．利用向量運算及其相等，點與橢圓的關系即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設P(x，y)，則

AB

=(-3，0)，

AP

=(x-4，y)，

PB

=(1-x，-y)．
∵

AB

•

AP

=6|

PB

|，∴-3(x-4)=6

(x-1)2+y2

．
則點P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設Q（x_Q，y_Q），直線l：y=k（x+1），則點M（0，k）．
當

MQ

=2

QF

時，由于F(-1，0)，M(0，k)，得（x_Q，y_Q-k）=2（-1-x_Q，-y_Q）．
xQ=-

2

3

，yQ=

1

3

k．
又點Q(-

2

3

，

k

3

)在橢圓上，所以

4 9

4

+

k2 9

3

=1．
解得k=±2

6

．
當

MQ

=-2

QF

時，xQ=-2，yQ=-k．
故直線l的斜率是0，或±2

6

．

點評：熟練掌握向量的數量積運算及其模的計算公式、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到方程組、向量的運算及其相等等是解題的關鍵．