Question

直線y=kx+b與曲線x²+4y²-4=0交于A、B兩點，記△AOB的面積為S（O是坐標原點）．
（1）求曲線的離心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（3）當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得到曲線為橢圓

x2

4

+y2=1，由此能求出橢圓的離心率．
（2）k=0時，設點A（x₁，b），B（x₂，b），由

x2

4

+y2=1，解得x1=2

1-b2

，x2=-2

1-b2

，由此能求出b=

2

2

時，S取到最大值1．
（3）由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，由此利用韋達定理和點到直線距離公式能求出題直線AB的方程．

解答： 解：（1）∵曲線x²+4y²-4=0，
∴曲線的方程可化為：

x2

4

+y2=1，
∴此曲線為橢圓，
∴a²=4，c²=4-1=3，c=

3

，
∴此橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

．…（4分）
（2）k=0時，y=kx+b為y=b，
由題意設點A的坐標為（x₁，b），點B的坐標為（x₂，b），
由

x2

4

+y2=1，解得x1=2

1-b2

，x2=-2

1-b2

，…（6分）
∴S=

1

2

b|x₁-x₂|=2b

1-b2

≤b²+1-b²=1，
當且僅當b=

2

2

時，S取到最大值1．…（8分）
（3）由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，
△=16（4k²-b²+1），①
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

16(4k2-b2+1)

4k2+1

=2，②
又∵O到AB的距離d=

|b|

1+k2

=

2S

|AB|

=1，
∴b²=k²+1，③
③代入②并整理，得4k⁴-4k²+1=0，
解得，k2=

1

2

，b2=

3

2

，代入①式檢驗，△＞0，
故直線AB的方程是
y=

2

2

x+

6

2

或y=

2

2

x-

6

2

或y=-

2

2

x+

6

2

或y=-

2

2

x-

6

2

．…（14分）

點評：本題考查曲線離心率的求法，考查三角形面積最大值的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．