Question

已知sinθ、cosθ是關于x的方程x²-ax+a=0（a∈R）的兩個根．
（1）求cos（

π

2

-θ）+sin（

π

2

+θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-

1

tanθ

的值．?

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值

專題：三角函數的求值

分析：由△≥0可得a的范圍，由韋達定理和同角三角函數的基本關系可得a的方程，可得sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-

2

．
（1）由誘導公式可得cos（

π

2

-θ）+sin（

π

2

+θ）=sin θ+cos θ，
（2）化簡可得原式=-

1

sinθcosθ

，代入可得．

解答： 解：由已知原方程判別式△=（-a）²-4a≥0，
解得a≥4或a≤0．又

sinθ+cosθ=a sinθcosθ=a

∴（sin θ+cos θ）²=1+2sin θcos θ，即a²-2a-1=0．
∴a=1-

2

或a=1+

2

（舍去）．
∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-

2

．
（1）由誘導公式可得cos（

π

2

-θ）+sin（

π

2

+θ）=sin θ+cos θ=1-

2

．
（2）tan（π-θ）-

1

tanθ

=-tan θ-

1

tanθ

=-（tanθ+

1

tanθ

）=-（

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

）
=-

1

sinθcosθ

=-

1

1- 2

=

2

+1．

點評：本題考查三角函數求值，涉及韋達定理的應用，屬中檔題．