Question

【題目】函數對任意的滿足:,當時,

（1）求出函數在R上零點；

（2）求滿足不等式的實數的范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

(1)根據奇偶函數的定義、函數的周期定義,結合已知可以判斷出該函數的奇偶性和周期,可以判斷出時,的零點情況,最后利用函數的奇偶性和周期求出函數在R上零點；

(2)先判斷出當時,函數的單調性,再利用函數的奇偶性,可以化簡不等式,最后求出實數的范圍.

(1)因為 ,所以函數是周期為2的奇函數.

因為,所以當時,函數沒有零點,根據奇函數的對稱性可知：當

,函數沒有零點,而,令,有,而由奇函數的性質可知：,所以有,因此當時,函數有三個零點,又因為函數的周期是2,所以函數的零點為：,即；

(2)設,因此.

,

因為,所以,因此,故函數在時是增函數.

因為函數是奇函數,所以

因為 ,所以,,因此當時,根據單調性可知：

.