Question

已知向量

a

=（sin（π-ωx），cosωx），

b

=（1，-

3

），且f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π（ω＞0）
（1）求ω的值；
（2）若x∈（0，

π

2

），解方程f（x）=1；
（3）在△OAB中，O為原點(diǎn)，A=（x，2），B（-3，5），且∠AOB為銳角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件求出f（x）=sin(π-ωx)-

3

cosωx=2sin(ωx-

π

3

)，所以根據(jù)f（x）的最小正周期為π便能求出ω．
（2）由x的范圍，便能求出2x-

π

3

的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的取值，求出x．
（3）求出向量

OA

，

OB

，然后求出cos∠AOB，根據(jù)∠AOB是銳角，能得到0＜cos∠AOB＜1，這邊得到關(guān)于x的不等式，從而求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）f(x)=sin(π-ωx)-

3

cosωx=sinωx-

3

cosωx=2sin(ωx-

π

3

)，∴π=

2π

ω

，∴ω=2．
（2）由f（x）=1得：2sin(2x-

π

3

)=1，∴sin(2x-

π

3

)=

1

2

；
又x∈(0，

π

2

)，∴2x-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)；
∴2x-

π

3

=

π

6

，解得x=

π

4

．
（3）

OA

=(x，2)，

OB

=(-3，5)；
∴cos∠AOB=

-3x+10

x2+4 • 34

，∵∠AOB為銳角；
∴0＜

-3x+10

x2+4 34

＜1；
解得：x＜

10

3

，；
∴x的取值范圍是：（-∞，-

6

5

）∪（-

6

5

，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角差的正弦公式，正余弦函數(shù)在一段區(qū)間上的取值情況，兩向量夾角的余弦公式，函數(shù)sin（ωx+φ）的最小正周期．